[Llibre] Plücker y Poncelet

El llibre del que us vull parlar avui serà el primer que recomani només a especialistes en la matèria. Tanmateix, he volgut comentar-lo perquè, encara que al meu entendre sigui difícil arribar a tots els conceptes dels que parla, sí he pogut treure-li algunes idees que crec que trobareu, almenys, curioses o entretingudes.
[@more@]

Imaginem que estem dibuixant una habitació que té pintat en una de les seves parets un cercle i un quadrat. Si no dibuixem aquesta paret de front, el cercle se’ns transformarà en una el·lipse i el quadrat en un trapezi. Fixeu-vos que no es conserven distàncies, ni angles, ni paral·lelismes; però també hi ha coses que deixen perplex. Mai no veurem un cercle com un trapezi o un quadrat com una el·lipse. Hi ha quelcom que es conserva. A l’estudi d’aquestes propietats que es conserven se li diu "geometria projectiva".

Una de les propietats que es conserva totalment és la colinealitat entre tres punts. Això és, que si una recta passa per tres punts a la paret, aquests tres punts projectats, els mirem des d’on els mirem, també estaran sempre en la mateixa recta: en el nostre dibuix, una recta dibuixada en la paret també serà una recta.

El primer teòric que va explicar el principi que seria la base matemàtica per a la perspectiva va ser Leon Battista Alberti. Més tard, Piero della Francesca i Alberto Duero van aprofundir en les idees de l’Alberti. Els primers homes interessats a aplicar la geometria a la pintura van ser pintors renaixentistes com Filippo Brunelleschi, Paolo Uccello i Masaccio i, a partir de l’any 1500, l’estudi de la geometria de les projeccions i seccions eres indispensable per a tot aspirant a pintor.

Haig de recordar-vos que dues rectes paral·leles en la realitat no tenen per què ser-lo en un dibuix. Per exemple, si mirem els rails del tren veiem que, en allunyar-se, cada vegada estan més prop fins que s’ajunten a un punt. El primer en adonar-se que dues rectes que són paral·leles en la realitat poden no ser-lo són en un dibuix va ser Gérard Desargues. Va dotar a cada recta un punt en l’infinit i a cada plànol una recta en l’infinit.

La geometria projectiva va renéixer en el segle XIX gràcies a diversos homes. El més curiós d’ells va ser Jean-Víctor Poncelet. Va escriure una obra titulada Tractat de geometria descriptiva que va aparèixer publicada en 1822, però va ser gestada entre els anys 1813 i 1814, mentre el seu autor, oficial de l’exèrcit de Napoleó, estava pres a Saratov. Havia participat en la campanya contra Rússia i va ser donat per mort durant la retirada de Moscou. En ambients matemàtics es sent dir amb freqüència que la geometria projectiva moderna va néixer a la presó de Saratov.

Altra cosa que desconeixia (potser no recordava) i m’ha sorprès és el "Principi de dualitat", que és la correspondència entre pol i polar d’una cònica. Ho dic en paraules més intel·ligibles: Si una afirmació sobre figures planes és certa, i intercanviem en ella les paraules "punt" i "recta", així com les relacions d’incidència (punt pertanyent a una recta per recta contenint un punt), llavors, la nova proposició també ho és.

Va haver, fins i tot, un home anomenat Joseph Gorgone que va iniciar el costum, mantingut durant molts anys, d’escriure tractats de geometria a doble columna, amb l’enunciat dual a la dreta de l’original. Curiosament, aplicant aquest principi al Teorema de Pascal, Brianchol va descobrir un teorema: les línies que uneixen els vèrtex oposats d’un hexàgon circumscrit a una cònica passen per un mateix punt.

Hexàgon circumscrit a una cònica

Permeteu-me fer un inicís sobri Blaise Pascal (que no consta al llibre però sí als enllaços que dic al final). És el mateix gràcies al qual avui parlem de pascals com unitat de pressió, del Principi de Pascal, del triangle de Pascal, de l’aposta de Pascal i del llenguatge de programació Pascal.

Als 11 anys va escriure un petit tractat sobre els sons de cossos en vibració. El seu pare volia que estudiés llatí i grec, així que va treure tots els textos matemàtics de la seva casa i li va prohibir continuar dedicant-se a les matemàtiques fins que complís 15 anys. En dia, però, el va trobar escrivint amb un tros de carbó en la paret una demostració independent que els angles d’un triangle sumen dos angles rectes. Tenia llavors 12 anys. En veure’l, el seu pare va canviar d’opinió i li va permetre estudiar a Euclides i, el que és més important, li va permetre asseure’s a escoltar les assemblees d’alguns dels millors matemàtics i científics d’Europa, com Roberval, Desargues, Mydorge, Gassendi i Descartes en la cel·la monàstica del pare Marin Mersenne.

Amb 16 anys va escriure Essai pour les coniques que va fer arribar al Marin Mersenne. Quan aquest últim li va ensenyar al Descartes, es va negar a creure que no anessin del seu pare. Quan encara no tenia 19 anys, i després de 3 anys de treball, va inventar la pascalina, una calculadora mecànica que va utilitzar la Hisenda francesa de l’època. Parlo de l’any 1645. En els anys 1960 (uns 300 després de la seva invenció), IBM la va utilitzar internament. Va morir amb només 39 anys. Prometo buscar més coses sobri Blaise Pascal i veure si algun dia li podem dedicar un article.

Continuem amb el llibre. Jakob Steiner va ser el primer matemàtic germà que va seguir el camí iniciat pel Poncelet. Va arribar a parlar de còniques de punts i còniques de rectes; o sigui, una cònica pot ser considerada com el conjunt dels seus punts, però també pot pensar-se com l’evolupant de totes les seves tangents.

El llibre parla també de les seccions còniques, anomenadas així perquè surten de tallar un con amb un plànol. En funció del cort obtenim les famoses el·lipses, paràboles i hipèrboles.

Plànols que tallen un con

Quan fem geometria projectiva com hem fet fins ara direm que és utilitzant mètodes sintètics; però també és possible fer geometria projectiva utilitzant mètodes analítics. En paraules simples, quan tractem de punts en el plànol, eixos cartesians i vectors.

I, com sempre, va haver polèmica entre ambdós grups d’especialistes. Al principi, va ser amistosa, però aviat va deixar de ser-lo. Els geòmetres analítics criticaven als sintètics per la seva incapacitat de demostrar el principi de dualitat en la seva forma més general (o sigui, que la figura a la qual s’aplica no cal que sigui una cònica); i els sintètics criticaven als analítics la utilització del llenguatge matemàtic que ocultava les idees geomètriques.

La rivalitat va arribar a fer-se tan agra que Jakob Steiner, el més fanàtic dels sintètics, va amenaçar amb deixar de publicar al Journal für Mathematik si els articles de Plücker, el més representatiu dels analítics, seguien apareixent allà.

Òbviament, aquesta discussió no té sentit. Potser, quant a potència dels seus procediments, el temps ha donat la raó als analítics, però els mètodes sintètics, en absolut, han deixat d’utilitzar-se i segueixen donant bells resultats.

El llibre parla molt, moltíssim de trucs i propietats geomètriques, de l’entrada de la variable complexa en la geometria analítica; dels diferents tipus de cúbiques, classificades segons Isaac Newton; de la paradoxa de Kramer, del teorema de Poncelet i finalment acaba amb algunes corbes conegudes (moltes d’elles solen sortir en les matemàtiques de diferents carreres tècniques i científiques) com la Leminscata de Bernoulli i altres que no coneixia com la Corba del diable, el bicorni o l’astroide (si voleu saber més sobre aquest tema com corbes i les seves fórmules, no deixeu de veure aquest enllaç).

I ja que parlem de corbes matemàtiques, permeteu-me un incís més que no hi és al llibre. La cardioide és una corba en forma de cor. Una anècdota que em va explicar un company de faculta és que un cert matemàtic va dedicar un llibre a la seva dona amb la dedicatòria: A la meva dona, amb [i aquí va posar la fòrmula de la cardioide]. Una dedicació bonica, curiosa i original, oi?

Com deia al principi, és bastant tècnic i només puc recomanar-lo a qui tingui bons o molt bons coneixements de geometria en nivells de la llicenciatura en exactes, enginyers, arquitectes o qualsevol altra carrera on es tractin aquests temes en profunditat (algú em pot dir si aquests temes s’estudien en profunditat en la carrera de Belles Arts?).

Si penseu que exagero, us recomano fer-li un bon cop d’ull abans de comprar-lo o llegir-lo. Ara bé, si coneixeu el tema, el llibre és sensacional.

 
Portada del llibre

Títol: “Plücker y Poncelet. Dos modos de entender la geometría”
Autor: Ricardo Moreno Castillo

Altres fonts:
http://suanzes.iespana.es/suanzes/pascal.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

Quant a omalaled

Me llamo Fernando y soy un apasionado de la ciencia y admirador de los científicos y ténicos de todas las épocas. Espero disfrutéis sabiendo un poquito más de ellos.
Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.