Benoit Mandelbrot y les fractals

La paraula "fractal" pot provocar un fort mal de cap a qui no la coneix
i gran alegria a qui la coneix. Buscant per Internet trobareu molta
informació sobre la geometria fractal, però el que no he trobat (o no
he sabut trobar) és la seva història. Sabíeu que tot va començar perquè
algú volia conèixer exactament la longitud de la costa d’Anglaterra?

[@more@]

Bé, i quina longitud té la costa d’Anglaterra? La resposta no és tan simple com semba. Imaginem que l’estem observant des d’un satèl·lit i fem mesures. Si ara la fem a peu, sortiria la mateixa distància? i si la fes a peu un bacteri?

Des del satèl·lit veiem unes línies "més o menys rectes", però si la fem caminant trobem petits obstacles que hem de rodejar i si som un bacteri tindran importància fins els granets de roca que estiguem recorrent. Podem continuar indefinidament fins a trobar-nos amb la mida i forma dels àtoms. Fixeu-vos que en fer-nos més petits o que ens apropem més i més, la distància augmenta. Cada badia que veiéssim des de l’espai tindria sub-badies cada vegada més petites que a la vegada tindria més sub-badies.

Tot això passava pel cap del Benoit Mandelbrot després d’haver llegit un article d’un científic anglès anomenat Lewis F. Richardson (1881-1953). Richardson s’havia sorprès després d’haver consultat enciclopèdies a Espanya, Portugal, Bèlgica i Holanda on trobava una discrepància de fins a un 20% en les mesures de les fronteres entre països. Si tots mesuraven la mateixa cosa i amb el mateix sistema mètric, per què aquestes discrepàncies?

Arran d’això, Mandelbrot va escriure un article titulat precisament "Quina longitud té la costa d’Anglaterra?". Quan el va presentar davant un consell científics, els oients van quedar perplexos. No sabien si aquest tipus estava completament sonat o el que deia era penosament evident. Podien pensar el que volguessin, però les respostes que donaven a aquestes preguntes eren les mateixes: "no és el meu camp", o "ara mateix ho miro a l’enciclopèdia".

Mandelbrot va pensar en un objecte quotidià, per exemple, una bola feta amb un cordill. Si la mirem de lluny, es redueix a un punt: dimensió matemàtica zero. Però a mida que ens hi apropem apareix un objecte borrós de tres dimensions. Si ens hi apropem més encara el concepte "bola" desapareix i el cordill ressalta de manera evident apareixent embolicat sobre si mateix utilitzant l’espai tridimensional. La pregunta és, com es pot donar rigor matemàtic a una construcció com aquesta?

El problema estava a definir correctament els conceptes "lluny" i "a prop". Quan era exactament el punt que la bola passava de tenir dimensió zero a tenir dimensió tres?. Per resoldre aquest problema Mandelbrot va fer una innovació. En lloc de quedar-se amb quatre possibles dimensions (zero és el punt, un la recta, dos el pla i tres l’espai; total quatre possibles dimensions) va postular una successió de dimensions fraccionades, per exemple 1,2 o 2,6. Per exemple, dimensió 1 és una recta i dimensió 2 un pla. Però una dimensió fraccionària entre 1 i 2 és una línia que no es tanca sobre si mateixa i que recorre el pla sense arribar a convertir-se en tota la superfície.

El 1975 encara no tenia nom per a aquestes formes no euclidianes. Mentre fullejava el diccionari de llatí del seu fill va veure l’adjectiu "fractus" del verb "frangere": trencar, així que els hi va dir fractals. Per exemple, un riu tindrà una dimensió al voltant d’1,2. La línia no s’haurà convertit en un pla però sí podrà estendre’s a totes les parts del paper.

En aquell temps, Mandelbrot comptava amb els recursos informàtics d’IBM que li van permetre dibuixar aquestes corbes fractals a l’ordinador. Les primeres imatges que va veure van ser una sorpresa per a ell, però dibuixant unes i altres va començar a reconèixer patrons. El 1977 va culminar amb el seu llibre "La geometria fractal de la Natura", que és una ampliació d’"Els objectes fractals". Van tenir un èxit terrible. Es van vendre més exemplars que cap altre llibre de matemàtiques superiors. Va començar a guanyar premis i honors professionals. És potser el matemàtic més reconegut dels últims anys.

Seria injust, però, no destacar aquí al Gaston Maurice Julia (1893-1978) perquè va ser qui primer ho va estudiar explicant com es poden generar a través de qualsevol funció complexa. Va ser qui va dir que seria un conjunt la vorera del qual seria impossible dibuixar a pols per ser de longitud infinita. Va ser guardonat per l’Acadèmia de Ciències de França gràcies a un article de 199 pàgines quan tenia només 25 anys d’edat. Desgraciadament per a ell, les fractals es van fer famoses a partir dels anys 80, quan ja havia mort, i va ser, sobretot, gràcies als ordinadors. Totes les coses que Gaston Julia havia fet a llapis, Benoit Mandelbrot les va fer sobre la pantalla d’un ordinador.

Té aplicacions la geometria fractal? Només cal pensar que la Natura no acostuma a tenir una geometria euclidiana, sinó fractal. Muntanyes, franges costaneres, sistemes hidrogràfics, núvols, fulles, arbres, vegetals, flocs de neu i altres objectes són bons exemples d’això. Un altre exemple molt clàssic són els vasos sanguinis que es divideixen i ramifiquen fent-se cada vegada més petits. I es que és sorprenent: no ocupen més del 5% del nostre cos. L’esmentada geometria proveeix una descripció i una forma de model matemàtic per a les complicades formes de la Natura. La geometria fractal s’ha utilitzat fins i tot en compressió de dades informàtiques.

Aquests estudis han ajudat a científics a veure com es combinen i ramifiquen les coses o el model en que es trenquen quan abans no havien tingut manera sistemàtica de comprendre-les. Aquí us poso una foto del romancescu (Brassica oleracea) en el que es pot apreciar la seva geometria fractal.

Les formes fractals tenen una característica que les fa matemàticament molt curioses. La seva àrea és finita (té límits) però la seva longitud és infinita (no té límits). Una altra característica que tenen és que són recursives. A mida que anem observant detalls més i més petits ens trobem amb els patrons que teníem al principi, però a escala menor.

Tot i que encara molts matemàtics i físics ho miraven amb desconfiança han hagut de reconèixer els seus mèrits. Un matemàtic explicava l’acudit que es despertava angoixat per un malson en el qual havia sentit la veu de Déu que li deia:

"Ei!, aquest Mandelbrot sap de veritat el que es fa".

Les coses han evolucionat molt i avui dia existeixen fins i tot Concursos d’Art Fractal. Però respecte la bellesa de les fractals, em quedo amb l’opinió det Tio Petros:

"Algú hauria de dir que la bellesa dels fractals és enorme, però NO ESTÀ A LES FOTOS que s’exhibeixen dels mateixos. De fet, aquestes imatges no són fractals en absolut; són i seguiran sent per sempre barroeres aproximacions. El conjunt de Mandelbrot mai no l’ha vist ningú, que diria Sant Pau. Tot això és cosmètica, en una civilització tendent al senzill, ràpidament consumible i més ràpidament encara oblidable.

Em carrega la frase que una imatge val més de mil paraules. I em carrega perquè ni tan sols puc dir que sigui falsa. Del que no tinc cap dubte és de que moltes vegades una paraula val per mil imatges, i no diguem una equació. Donat que vivim una època audiovisual, ens estem oblidant del llenguatge, de les lletres i dels plaers tranquils. Si no genera adrenalina en un femtosegon, no val una merda.

(…) No sé si existeixen batalles més importants; suposo que sí. Però si anem a buscar la bellesa, no crec que haguem conformar-nos amb la cosmètica."

En fi, que quan busqueu algun tema de conversa, traieu el tema de la longitud de la costa d’Anglaterra. Segurament, hi haurà moltes coses interessants de les quals parlar.

Font:
http://historias-de-la-ciencia.bloc.cat/post/1052/91494

Quant a omalaled

Me llamo Fernando y soy un apasionado de la ciencia y admirador de los científicos y ténicos de todas las épocas. Espero disfrutéis sabiendo un poquito más de ellos.
Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Una resposta a Benoit Mandelbrot y les fractals

  1. Trena diu:

    Si busquem la bellesa no ens hem de conformar amb la cosmètica.

    Gran frase. M’ha fet molta il·lusió veure un article sobre en Mandelbrot i els fractals (o les fractals…)

    Ara mateix sóc a Menorca, de vacances, miraré de preguntar si algú sap la longitud de la costa de Menorca 😛

    Bones vacances Omalaled!!!

Els comentaris estan tancats.