El universo de las matemáticas

El llibre que comentarem avui té una forma curiosa d'enfocar la història de les matemàtiques: aprofita l'alfabet per a donar un repàs tant dels conceptes com de la vida de molts dels grans, associant a cada lletra un personatge o algun fet matemàtic destacable a la història. Barreja biografies amb demostracions matemàtiques de tota mena. Per qui no tingui suficient agilitat matemàtica recomano que faci un esforç: valdrà la pena. Tanmateix, si no es desitja fer, aquests passatges es poden obviar perfectament.
 

[@more@]

Per la seva forma i idea de divulgació de les matemàtiques, m'ha recordat molt un altre titulat "ás allá de los números" del John Allen Paulos, però aquest m'ha agradat molt més. No hem de menysprear al Paulos, encara que d'aquest autor recomanaria abans "El hombre anumérico" (al meu entendre, el millor llibre d'en Paulos, però cal recordar que té bastants més).

Però tornem al llibre d'avui. És relativament llarg, d'unes 400 pàgines però de grandària petita, lletra mitjana i moltíssimes il·lustracions. Us faig un breu resum sense oblidar que és impossible dir en un article tots els temes que tracta.

Els nombres primers sempre han estat l'atracció dels matemàtics. Marin Mersenne estava intrigat per aquells que tenien la forma 2p-1, sent p un nombre primer. Els resultants són òbviament imparells, però és curiós que molts d'ells també són primers. A aquells que tenen aquesta forma se'ls hi diu nombres primers de Mersenne. Però la cosa no està del tot clara. Es compleix per a 2, 3, 5 i 7:

22 – 1 = 3
23 – 1 = 7
25 – 1 = 31
27 – 1 = 127.

I s'acaba aquí. Si prenem el 11 tenim que 211 – 1 = 2.047 que és també el producte de 23 x 89. Mersenne sabia perfectament que, encara que l'exponent del 2 fos un nombre primer, no era garantia suficient perquè el resultat de 2p – 1 també ho fos. Va dir que només els nombres primers per als quals es complia la fórmula eren 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 i 257. Però, ai!, se li va escapar que 261 – 1 també era primer i, d'altra banda, 267 – 1 no és primer. Aquest últim cas va ser indicat pel Edouard Lucas. En 1876 va demostrar de forma indirecta que havia de tenir divisors però sense mostrar-los.

En 1903 el problema va quedar resolt d'una forma fascinant. Havia una reunió de la American Mathematical Society. Entre els conferenciants programats figurava el Frank Nelson Cole. Quan li va tocar el torn, es va avançar a l'extrem de la sala. Completament en silenci, va multiplicar 2 per 2, 67 vegades i li va restar 1, obtenint l'enorme xifra de 147.573.952.588.676.412.927. Els que, més que escoltar, observaven, van veure sorpresos com Cole anava a l'altre costat de la pissarra i escrivia a continuació 193.707.721 x 761.838.257.287 realitzant-la i obtenint el mateix resultat. Entre que els assistents van quedar sense parla i que el conferenciant es va anar al seu seient sense haver pronunciat una sola paraula, ja podeu imaginar l'emoció del moment. Tots sabien que era històric. De sobte, li van fer una llarguíssima ovació. Més tard, Cole confessaria que li va dur més de dues dècades (segons traducció del llibre, en anglès va dir exactament "three years of Sundays").

Comenta una anècdota de l'Erdös, del que fa poc us vaig parlar, que ja coneixia però em va agradar de recordar. A l'edat de 21 anys, després d'haver sorprès a la comunitat matemàtica amb una demostració molt més senzilla d'aquell teorema que deia que entre un nombre i el seu doble hi ha, almenys, un nombre primer, va untar per primera vegada a la seva vida un tros de pa amb mantega, cosa que va recordar més tard:

Acabava de marxar-me a Anglaterra per a estudiar. A l'hora del te, van posar pa. Vaig passar també molta vergonya en haver d'admetre que mai havia untat mantega. Ho vaig intentar. No va ser tan difícil.

Que l'Erdös no sabés fer això o lligar-se les sabates no li treu mèrit.

També parla d'un parell de components de la pintoresca família Bernoulli. En Jakob va fer una de les primeres obres mestres en teoria de la probabilitat, la nomenada Ars Conjectandi. Durant 30 anys va ser un dels primers matemàtics del món. No obstant això, tenia una personalitat feridora, un gran orgull i una marcada tendència a menysprear els esforços de persones menys dotades. Tanmateix, cal dir al seu favor que va ser un dels principals responsables en la popularització del càlcul de Leibnitz que acabava d'inventar.

Doncs bé, resulta que li va ensenyar matemàtiques al seu germà petit, en Johann, qui es va convertir en un duríssim competidor. De fet, hi va haver una forta rivalitat per la supremacia matemàtica. Mentre Johann no dissimulava la seva alegria quan va resoldre un problema amb el qual no havia pogut Jakob, aquest últim li deia "deixeble" intencionadament. Una disputa famosa es va produir per una corba nomenada catenària, (aquella que es pot veure al penjar una corda per dos punts). Mentre Jakob no va poder resoldre'l, el seu germà Johann sí i va córrer a dir-li deixant-lo perplex. Jakob va contraatar amb el problema isoperimètric. Això és: entre totes les corbes del mateix perímetre, donar la que tanca l'àrea més gran. Per exemple, en unitats arbitràries, un rectangle de costats 1 i 9 té un perímetre de 20 i l'àrea seria de 9; però un quadrat amb el mateix perímetre (de 5×5) tindrà un àrea de 25 (els gaussianos han tractat el tema fa poc).

Però tornem amb el Jakob. Aquest problema li va obligar a enfrontar-se amb una equació diferencial de tercer ordre (una equació amb terceres derivades). Amb això va obrir el camí d'una branca de les matemàtiques que avui diem càlcul de variacions. Johann va discrepar i va dir que era, en realitat, de segon ordre i no tercer. Aquí tenia raó el Jakob; però no va poder riure perquè tot just es va morir. Per a editar els seus treballs, van suggerir al seu germà Johann, però imagineu com estava l'afer familiar que la vídua no li va deixar. Encara que en aquest llibre no es parli més d'ells, la família Bernoulli té molt més suc i l'haurem de treure en una altra història.

També dóna la demostració que només hi ha tres maneres de disposar polígons idèntics al voltant d'un vèrtex comú sense que hagi intersticis: 6 triangles equilàters, 4 quadrats i 3 hexàgons regulars (aquest últim cas és el que utilitzen les abelles).

 
Formes sense intersticis

Parla també de l'intent de patentar el nombre PI del que ja us vaig explicar; però algun detall més com que dos brillants i excèntrics germans, en David i Gregory Chudnovsky, nascuts a Kíev, van desenvolupar l'algorisme per a calcular PI que avui utilitza el programa Mathematica. Ells van voler calcular-lo amb una precisió de fins a dos mil milions de dígits en una computadora construïda per ells amb peces demanades per correu en el seu apartament de Manhattan. El seu projecte va omplir taules i taules amb les peces del computador i salons i passadissos amb tot tipus de cables. La calor generada per tot això va elevar l'apartament fins a unes temperatures infernals. Però ho van fer.

Parla del problema que va plantejar en el seu moment Gerolamo Cardano, qui afirmava que no existien dos nombres reals que sumessin 10 i el producte fos 40 … i tenia raó.

Parla d'Euler, qui es va interessar pel càlcul, l'àlgebra, la geometria; que va donar llum a noves branques de les matemàtiques com la teoria de corbes, topologia combinatòria, càlcul de variacions, etc., que es va interessar per l'òptica, la mecànica, l'electricitat, l'acústica … fins i tot l'estructura subjacent de la música. Deien d'aquest últim treball que contenia massa geometria per als músics i massa música per als geòmetres. Va ser d'allò més prolífic: avui dia existeixen uns 70 volums, cadascun dels quals té unes 500 pàgines i pesa uns 2 kg; així que tenim d'ell uns 140 kg de saviesa en els seus llibres. Va distingir entre funcions algebraiques i transcendents i entre funcions elementals i superiors, va desenvolupar les coordenades polars i la representació paramètrica de les corbes. Fins i tot li van donar un premi per determinar l'òptima col·locació dels mastelers en un vaixell de passatgers. Per si no fos poc, era una persona senzilla i sense pretensions. Deu n'hi do l'Euler.

L'autor aprofita a aquest personatge per a treure'ns un tema del que ja hem parlat moltes vegades: que moltes de les persones no han sentit parlar de persones com l'Euler no tenen problema a conèixer a personatges tan dispars com Pierre Auguste-Renoir, Johannes Brahams o Walter Scott. Afegeix que no és comparable el Renoir amb el Rembrandt, el Brahams amb el Bach o el Walter Scott amb el Shakespeare. Doncs bé: Euler és el Shakespeare de les matemàtiques i és una llàstima que no sigui tan conegut com ell.

Parla d'en Fermat, qui mai va publicar un tractat. Si no hagués tingut un caràcter tan tancat, en lloc de pla cartesià, avui parlaríem de pla "fermitià". I, evidenment, no deixa de nomenar l'últim Teorema de Fermat i algunes de les divertides anècdotes que ens han obsequiat les ments més agudes de la història de les matemàtiques a través d'ell. Quan aquest llibre estava imprimint-se, Andrew Wiles estava a punt de sorprendre al món amb la demostració del mateix. Si voleu, algun dia us puc parlar d'això comentant el llibre "El último teorema de Fermat", de Simon Sigh, on fa un meravellós relat d'aquesta història.

Parla també del teorema de Pitàgoras i que un professor de principis del segle XX anomenat Elisha Scott Loomis va reunir i va publicar 367 demostracions del mateix. Diu que hi ha evidències que els xinesos van demostrar aquest teorema abans del Pitàgoras, però el més divertit és que hi ha qui dubta que utilitzés aquest mètode dels xinesos per a demostrar-lo, hi ha qui dubta que Pitàgoras ho demostrés i, per si no és suficient, hi ha qui dubta que Pitàgoras hagi existit. Conclusió: no sabem res de res.

Explica possibles errors en que poden caure els mateàtics, com que no només calen uns quants casos per a confirmar una suposició i que els matemàtics utilitzen argumentacions molt convincents per a demostrar que "determinada cosa no existeix". Molt semblant al drac en el garatge: suposem que existeix, ho desenvolupem d'una forma freda i lògica i arribem a una contradicció. Un contraexemple és un arma demolidora i invalida una possible hipòtesi; el problema és que, de vegades, no és gens trivial trobar-ne un. Per exemple, Euler va conjecturar que calia sumar, almenys, n potències per a obtenir una potència d'ordre n. Per exemple:

Per a n=2 tenim 32 + 42 = 52.
Per a n=3 tenim 33 + 43 + 53 = 63.

O sigui, tants sumands com valor tingui l'exponent. Així va quedar l'assumpte en 1778. Els que van creure en Euler no van poder demostrar-lo. En 1966 els matemàtics Leon Lander i Thomas Parkin van descobrir que:

275 + 845 +1105 + 1335 = 1445.

I aquest contraexemple invalida la conjectura. Sí, d'acord, l'Euler es va equivocar, pero no penseu que seré jo qui l'hi recrimini. Aquí la matemàtica es diferencia de la resta de les ciències. Per exemple, un químic que deixa caure 50.000 trossos de sodi metàl·lic en 50.000 gots de precipitat amb aigua i observa 50.000 explosions. El químic conclou qhe ha demostrat alguna cosa. Un matemàtic fa 50.000 fraccions i troba que cap d'elles és igual a l'arrel de 2. El matemàtic està al mateix punt en el que havia començat.

O sigui: els matemàtics no només busquen que una prova estigui més enllà de tot dubte raonable, sinó més enllà de tot dubte.

També parla del sentit de l'humor i el tarannà dels matemàtics. En comptes de vestir normal i com tot el món, es posen samarretes amb inscripcions d'alguna moguda matemàtica (els físics, en aquest aspecte, no els van molt lluny).

Els que escriuen tires còmiques s'equivoquen: els matemàtics no duen bata blanca i és més probable veure dur una bata blanca a un lluitador de Sumo que no a un matemàtic. Els matemàtics barbuts abunden: afaitar-se és il·lògic i l'únic lloc on podrem trobar més barbes que en un congrés de matemàtics és en un congrés de Santa Claus.

Distingeix entre dos tipus d'humor matemàtic: el "baix" i "l'alt". El baix és la confusió pretesa de la terminologia matemàtica com homotopia o difeomorfisme; encara que algunes paraules s'han colat al llenguatge habitual com matriu o paràmetre. L'humor matemàtic baix és, per exemple, dir d'una reunió de col·legues "grup finit".

L'humor alt és molt més subtil i entra quan els engranatges se surten totalment del seu lloc. Un exemple és el que Pólya escrivia: "Què és un filòsof? Un que ho sap tot i no res més" o Pauli (encara que era físic, però igual de retorçat) quan deia "Tan jove i tan desconegut" (en ciències pures es diu que si no has destacat de jove, de gran ja no serveixes: tens massa prejudicis). I en diu més però que tenen a veure amb un doble sentit en anglès.

Diu també que els matemàtics són menyspreats per la resta dels mortals (no és el cas d'un servidor; encara que sempre digui que estan bojos és per pura enveja), en l'aspecte que molts afirmen que odien les matemàtiques o que els espanten o ambdues coses. Es que van ser mossegats de nens per un matemàtic? Imagineu una conversa del tipus:

Professor: Qui van ser els Reis Catòlics?
Alumne: Ho sento, jo mai vaig poder estudiar història.

Si un matemàtic es vanagloriés de no haver llegit mai poesia seria immediatament tatxat d'ignorant, però si un poeta admet ser un analfabet matemàtic ho duu amb orgull. Oi que no sembla equitatiu?

També ens recorda que Gauss, encara que va reconèixer el patró, no va poder demostrar el Teorema dels Nombres Primers ni ningú durant els cent anys següents fins que dos cracks que es deien Jacques Hadamard i C. J. de la Vallee Pousin ho van aconseguir utilitzant tècniques que s'escapen a molts de nosaltres.

Que, de vegades, les innovacions en el camp matemàtic són terriblement mal acollides. Molts es van oposar violentament a l'extensió de nombres sencers als negatius. Michael Stifel (1487-1567) deia d'ells "numeri absurdi" i Gerolamo Cardano deia despectivament "numeri ficti". Fins i tot Descartes els hi deia "falses arrels".

També recorda que Charles Hermite va ser el primer que va demostrar que "e" és un nombre transcendent en 1873 i va ser aclamat per això. Més tard va ser instat a demostrar que PI era també transcendent. Va declinar l'oferta dient:

No goso intentar demostrar la transcendència de PI. Si uns altres emprenen aquesta tasca, ningú se sentirà més feliç que jo pel seu èxit, però, creguin-me, amics meus, això no pot menys que costar-li un bon esforç.

Va ser Lindeman qui ho va demostrar en 1882 basant-se en moltes tècniques que havia introduït Hermite.

Explica més coses com els passos que va seguir Arquimedes per a esbrinar la superfície de l'esfera.

Fa una bonica biografia de Bertrand Russell i parla de dones matemàtiques en dos capítols de forma tan extensa que us les hauré de contar en més històries per a poder treure'ls tot el suc.

I també dels tres teoremes fonamentals en matemàtiques: el de l'aritmètica, que diu que tot enter positiu pot ser descompost de forma única per factors primers; el del càlcul, que afirma que derivació i integració són operacions inverses; i el de l'àlgebra, que diu que qualsevol equació polinòmica de grau n escrita amb nombres complexos té, precisament, n solucions. La demostració a aquest últim teorema fonamental va aparèixer a la tesi doctoral de Gauss en 1799 i es considera el major doctorat en matemàtiques de tots els temps. Deu n'hi do també el Gauss.

 
 

Portada del llibre
 
Títol: "El universo de las matemáticas"
Autor: William Dunham

Quant a omalaled

Me llamo Fernando y soy un apasionado de la ciencia y admirador de los científicos y ténicos de todas las épocas. Espero disfrutéis sabiendo un poquito más de ellos.
Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

3 respostes a El universo de las matemáticas

  1. Joan diu:

    Gauss i Euler, aquests dos han estat reconeguts entre els més grana… És molt normal que sempre n’acabi sortint un.

    Abans de llegir què era, la imatge dels 6 triangles equilàters, he interpretat que era una projecció en 2D d’un cub…

    Un missatge per en Bernoulli podria ser que moltes vegades l’alumne supera el mestre (tot i que el mestre sempre pot tenir algun cop amagat).

    Sí que és veritat el que dius del poeta i el matemàtic. Ja sol passar això…

  2. matgala diu:

    Un gran llibre, i un gran post! Hi ha tantes coses, que no sabria quina comentar. Bé, segurament primer m’hauré de comprar el llibre 🙂 Ja m’has creat una necessitat compradora de llibres més 🙂

  3. omalaled diu:

    Joan: dons sí, la figura dels triangles sembla també la projecció d’un cub. El que passa és que en llegir el llibre i parlar del tema, ja tens el subconscient preparat per veure els triangles.

    Allò dels Bernoulli no té no. Encara hi ha un altre que ha d’entrar en joc, que és en Daniel Bernoulli; però ja l’explicaré 🙂

    Matgala: Crec que t’agradarà. Haig de tornar a mirar-e el teu bloc i tornar als bons costums. Una salutació.

Els comentaris estan tancats.