Viaje a través de los genios

Havia un camí que portava a New Southgate travessant el camp, i jo acostumava a anar allà per contemplar la posta de Sol i pensar en el suïcidi. Però no em vaig suïcidar, perquè volia saber més matemàtiques.
[@more@]
Aquest paràgraf, cortesia de Bertrand Russell, és l’entrada que dóna aquest llibre per fer-nos intuir com les matemàtiques poden acaparar la voluntat d’una persona. A partir d’aquí, l’autor s’endinsa tant a explicar la vida d’alguns dels seus personatges com a exposar moltes demostracions. Us faig, com de costum, un resum subjectiu del seu contingut.

Les matemàtiques han aconseguit èxits espectaculars en les seves diverses aplicacions. Però no ha estat aquesta utilitat mundana el que va impulsar a Euclides, Arquimedes o Cantor a dedicar gran part de la seva vida i geni a les matemàtiques. Aquests matemàtics no es van sentir obligats a justificar el seu treball amb aplicacions utilitaristes de cap tipus, igual que Shakespeare no va haver de demanar excuses per escriure sonets d’amor en comptes de llibres de receptes de cuina o Van Gogh per pintar llenços en comptes de panells. I és cert: no deixa de ser curiós que ningú no demani a un pintor per quina raó pinta quadres i després demani als científics per a què estudien ciència.

Parla dels clàssics, començant pel Tales de Mileto, encara que es tinguin poques dades biogràfiques d’ell. Es diu que un pagés que acostumava a carregar el seu ase amb sacs de sal quan anava al mercat tenia el problema que l’animal va aprendre a decantar-se mentre vadeaba un rierol d’aigua. D’aquesta manera, gran part de la sal es dissolia i la càrrega s’alleugerava notablement. El pagés va anar al Tales buscant consell i li va recomanar que el proper viatge carregués l’animal amb esponges.

Parla d’Euclides citant el seu llibre Elements. Ho fa de manera molt extensa i és, la veritat, molt interessant, així que em reservo el tema per a una altra història.

Si tinguéssiu un terreny amb forma triangular i volguéssiu calcular la seva àrea, com ho faríeu? Recordeu que la fórmula de l’àrea del triangle és la meitat de la base per la seva alçada. Però vosaltres només coneixeu les longituds dels costats. Us imagineu haver de dibuixar-lo a escala, calcular l’alçada,…? Per sort, la fórmula de Heron ve en la nostra ajuda i deixa l’àrea del triangle, coneguts els seus costats, com:

Fòrmula d'Heron
 
L’autor també dóna la demostració, que és autènticament sensacional. Comporta una pila de passos en els quals un no té idea d’on anirà a parar, i quan sembla que el descontrol és total, que un està perdut i no entén per què fa el que fa, apareix la magnífica fórmula. I no només això: d’aquesta mateixa fórmula es dedueix el teorema de Pitàgores. Impressionant.

Parla també de PI. Hi ha molts personatges implicats en la seva història, massa per comentar-los aquí i hi ha munts de llocs on s’explica amb molt detall, així que només comentaré alguns. Ludolph van Ceulen va dedicar anys de la seva vida a calcular el seu valor amb l’estratègia arquimediana arribant a manejar polígons de 262 costats(!) i amb això només va poder obtenir 35 xifres. Els atacs més forts a PI han vingut de diferents branques de la matemàtica. Leibniz va obtenir una sèrie que permetia conèixer PI/4 i Abraham Sharp i John Machin van introduir modificacions que van produir sèries que convergien molt més ràpidament. Amb menys esforços van poder calcular molts més dígits decimals de PI que Ceulen. En 1767, Johann Heinrich Lambert va demostrar que era un nombre irracional (no pot ser el quocient de dos números) i Ferdinand Lindemann va demostrar en 1882 que és un número transcendent.

Un altre dels quals va contribuir va ser el Ramanujan. Va dissenyar moltes fórmules que proporcionaven aproximacions ràpides i molt exactes de PI. Algunes d’aquestes fórmules van aparèixer en un important treball en 1914, altres van quedar gargotejades en els seus quaderns de treball privats (avui dia aquests quaderns estan en mans de la comunitat matemàtica). Però no només això: les idees de Ramanujan han obert línies d’investigació sobre càlculs molt més eficaços de PI.

Parla de la història de Tartàglia i Cardano amb bastant detall explicant la resolució de les equacions de tercer grau. Però encara que es solucionaven, van veure que havía que tenien uha amb una sola solució real i les altres dues complexes. Això passava també en les equacions de segon grau, la de la famosa fórmula:

Solució equació quadràtica

El que hi ha dins de l’arrel quadrada rep el nom de discriminant. Si aquest discriminant és negatiu, tenim l’arrel quadrada d’un número negatiu i l’equació no té solució real. Hi havia molts que deien que allò no era una solució. Sembla que el primer que va deixar de banda els prejudicis va ser Rafael Bombelli i ho va desenvolupar en el seu tractat Algebra de 1572.

Resulta que acceptant que arrel de menys un és el número i (imaginari), s’obtenien solucions gairebé inesperades i no era trivial menysprear-les. El problema era assegurar-se que això era realment cert. Van haver de passar de l’ordre de 200 anys fins que van arribar Euler, Gauss i Cauchy per posar les coses al seu lloc.

I no cregueu que és una cosa del passat. Avui dia hi ha qui diu que els matemàtics són místics per utilitzar els nombres complexos.

També parla de Blaise Pascal. Amb 14 anys assistia a reunions de madurs matemàtics francesos i va fer escrits amb 16 anys. Descartes es va impressionar tant pels seus treballs que va afirmar que no podia creure que fossin d’ell. Però, encara que tenia aquest magnífic talent per a les matemàtiques, va decidir dedicar la major part de la seva vida d’adult a qüestions teològiques i el seu treball en aquest camp és encara estudiat regularment.

Era una persona que creia veure presagis en els esdeveniments que passaven al seu voltant. Va concloure que el pla de Déu no incloïa les matemàtiques. Un dia, però, enmig d’un fort dolor de queixals, quan tenia 35 anys, va deixar vagar la seva ment per pensaments matemàtics i els seus dolors van desaparèixer. Ho va prendre com un senyal clar i va tornar ràpidament a la investigació matemàtica. Va aconseguir descobrir les propietats fonamentals de les corbes ciclòides. Va morir a l’edat de 39 anys.

Corba ciclòide

També explica com es dedueix l’aproximació del càlcul de PI que va fer Newton. L’havia escrit en 1671 però va estar inèdit durant dècades. En certa ocasió, quan comentava aquestes aproximacions, va dir d’una forma una mica tímida: Em dóna vergonya confessar-li quantes xifres decimals he calculat, doncs no tenia una altra cosa a fer en aquell moment.

Una de les millors imatges del geni ve del seu nebot, Humphrey Newton, qui va escriure:

Sempre es va mantenir concentrat en els seus estudis i molt rares vegades visitava a algú i gairebé no rebia visites… mai no el vaig veure prendre’s un descans ni una festa, ni passejar a cavall per prendre l’aire, ni passejar, jugar a les bitlles, ni fer cap tipus d’exercici, sinó pensant tot el temps que no dedicava als seus estudis… Rarament venia a sopar al College… i, quan venia, ho feia molt descuidadament, amb les sabates en xancletes, les mitges arrugades, amb la sobrepelliz posada i el cap despentinat.

Era professor dolent. Un contemporani deia que tan pocs assistien a escoltar-lo i encara menys ho entenien que, amb freqüència, a falta d’oients, li explicava a les parets.

Laplace reflectia la seva admiració i, en certa manera, enveja:

Newton va ser el geni més gran que hagi existit mai, i el més afortunat, doncs no podem trobar un sistema per fundar el món una vegada més.

Parla dels Bernoulli. D’aquesta família tampoc us he parlat i és una de les més pinorescas en la història de les matemàtiques. Un d’ells, Johann, va imaginar dos punts A i B, un per damunt de l’altre. Buscava la corba que feia que una bola rodés en el menor temps possible.

Braquistòcrona

La va dir "braquistòcrona" (del grec "més curt" i "temps"). No és una recta, com pot pensar-se a primera vista, ja que la recta seria la més curta, però no per això la que fa que se’n vagi d’un punt a un altre en el menor temps possible. Va donar al món un termini de 6 mesos per solucionar-lo. Com deia ell mateix:

Aquest premi no és ni or ni plata, ja que aquests metalls només apel·len a les ànimes baixes i banals… Més aviat, ja que la virtut és, en si mateixa, la seva màxima recompensa i la fama és un poderós incentiu, oferim el premi idoni per a un home de noble cuna, compost d’honor, alabança i aprovació…

Per aquella època, Newton estava implicat en problemes de la Casa de la Moneda i, com ell mateix reconeixia, no tenia l’agilitat mental que va caracteritzar el seu apogeu matemàtic. La seva neboda Catherine Conduitt ens explicava els detalls:

Quan Bernoulli va enviar el problema en 1697, sir Isaac Newton estava ocupat en una encunyació massiva i no va tornar a casa fins a les 4 des de la Torre amb un terrible cansament, però no es va adormir fins que no ho va haver resolt, cap a les quatre de la nit.

Faltava poc perquè finalitzés el desafiament i Johann havia rebut cinc solucions: la seva, la de Leibniz, la del seu germà Jakob, la del Marqués de L’Hôpital i una que tenia un segell anglès. Aquesta última no portava signatura. Segons la llegenda, Johann la va obrir i va dir: Reconec al lleó per les seves urpes.

Parla també d’Euler, del qual dèiem que era el Shakespeare de les matemàtiques. Era capaç de fer càlculs mentalment que implicaven números de fins a 50 xifres. François Arago deia que calculava sense esforços aparents igual que una persona respira o l’àguila es manté en l’aire. Es coneixia sencer el text de L’Eneida de Virgilio.

Era molt humil, d’altra banda. Condorcet deia que preferia instruir als seus deixebles més que la petita satisfacció de sorprendre’ls. Un humorista, meitat seriosament, meitat en broma, va dir que:

… existeix un ampli precedent en això de donar a lleis i teoremes el nom de persones que no les van descobrir; del contrari, la meitat de l’anàlisi matemàtic hauria de portar el nom de Euler.

Al morir, el mateix Condorcet va dir: va deixar de calcular i de viure. Meravellós.

Parla de Gauss i del d’Alembert i que, en alguns països, al Teorema Fonamental de l’Àlgebra se li diu "Teorema de d’Alembert", però que en realitat, encara que ho va atacar, mai va poder demostrar-lo. Dir a aquest teorema per aquest nom seria com rebatejar Moscou amb el nom de Napoleó simplement perquè va intentar conquistar-la. Euler també va fer una demostració parcial, però va ser Gauss qui ho va demostrar totalment.

Encara que Gauss no va escriure tant com Euler, tenia un lema que deia poques coses però madures. La investigació inèdita que es va trobar de Gauss hagués pogut fer pujar a la fama a dotzenes de matemàtics. En fi, que va escriure poc, però cada vegada que ho feia calia prendre nota.

Parla també que durant una època no havia forma de definir el límit d’una funció i després de tornar bojos a genis com Leibniz o Cauchy, finalment, Karl Weiertrass, va donar la definició que tots coneixem avui dia:

Límit

Finalment, té un capítol sobre Cantor explicant la seva matemàtica transfinita de manera absolutament sensacional. Cantor va demostrar que havia molts més números transcendents que no algebraics. Però no parlo d’uns pocs més, sinó una infinitat més. E. T. Bell ho explicava molt bé:

Els números algebraics es localitzen en el pla com les estrelles sobre un cel fosc; la densa foscor és el firmament dels números transcendents.

El fet curiós és que tal com coneixem munts de números algebraics, gairebé no coneixem transcendents. I és que, en matemàtiques, moltes vegades és més fàcil demostrar l’existència d’alguna cosa que no trobar un exemple. I tot això gràcies a la matemàtica transfinita del formidable Cantor.

Per si no n’hi hagués prou, ens va deixar com regalet la Hipòtesi del Continu, que és un problema molt semblant, quant a forma, al cinquè postulat d’Euclides. La història es repeteix fins i tot en les matemàtiques.

Cantor va rebre molts atacs. Això de jugar amb l’infinit no agradava a certs matemàtics i van intentar demostrar que no era consistent. No van poder. En paraules del propi Cantor:

La meva teoria roman tan ferma com una roca; cada dard que dirigeixen contra ella es tornarà ràpidament contra el que ho llenci. Com és això? Perquè he estudiat totes les objeccions que s’han fet alguna vegada contra els números infinits; i sobretot perquè he seguit les seves arrels, per dir-ho així, fins a la primera causa infal·lible de totes les coses creades.

Com va dir en Hilbert:

[La matemàtica transfinita és] el més fi producte del geni matemàtic i un dels èxits suprems de l’activitat intel·lectual humana pura. Del paradís que ens ha creat Cantor, ningú ens farà fora.

En fi, un llibre molt entretingut i informatiu. Puc recomendarlo a tot el món, encara que matisant. Qui tingui una mica  o molta agilitat matemàtica gaudirà d’allò més. Per a qui no tingui agilitat i vulgui fer un esforç, paga la pena probar-ho, encara que no prometo res. D’altra banda, un es pot saltar aquests trossos però, segons la meva opinió, seria un sacrilegi.

Portada del llibre

Títol: “Viaje a través de los genios”
Autor: William Dunham

Quant a omalaled

Me llamo Fernando y soy un apasionado de la ciencia y admirador de los científicos y ténicos de todas las épocas. Espero disfrutéis sabiendo un poquito más de ellos.
Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Una resposta a Viaje a través de los genios

  1. Joan diu:

    Quin llibre!!

    Déu ni do amb els Bernoulli. Pensava que hi hauria hagut algú més a l’alçada d’haquests 5 homes com per trobar la resposta.

    D’altra banda em pensava que definició de límit era de Cauchy. De Weierstrass en coneixia la seva funció (la que és contínua i no derivable).

Els comentaris estan tancats.