La pilota de futbol i els sòlids perfectes

Mai us heu preguntat sobre la forma d’una pilota de futbol? Abans d’això haig de parlar-vos del que són els sòlids regulars, perfectes, platònics o pitagòrics.

[@more@]

Els esmentats sòlids són aquells que compleixen que totes les seves cares són polígons regulars (aquells que tenen els seus costats iguals). L’exemple més conegut és l’hexaedre o cub. Però existeixen quatre més que són el tetraedre (format per quatre triangles equilàters), el octaedre (vuit triangles equilàters), el dodecaedre (dotze pentàgons) i el icosaedre (vint triangles equilàters). Us els mostro:

Sempre han tingut un significat un tant místic.

Els pitagòrics veien en els resultats matemàtics alguna cosa semblant a una veritat religiosa. Consideraven molt important l’observació que havia només cinc políedres regulars possibles. Molts creuen que van ser ells els qui la van fer per primera vegada i per això es diuen "sòlids pitagòrics" als poliedres regulars (el fet més probable és que la demostració d’aquesta afirmació es degui als membres d’aquesta escola). No obstant això, els arqueòlegs han trobat imatges en pedra dels políedres regulars considerablement més antigues.

Es creu que va ser Empèdocles qui primer va associar el cub, el tetraedre, el icosaedre i l’octaedre amb la terra, el foc, l’aigua i l’aire, respectivament. Aquestes substàncies eren els quatre "elements" dels grecs antics. Platon en els seus "Diàlegs" diu: "El foc està format per tetraedres; l’aire, d’octaedres; l’aigua, de icosaedres; la terra de cubs; i com encara és possible una cinquena forma, Déu ha utilitzat aquesta, el dodecaedre pentagonal, perquè serveixi de límit al món". No està molt clar per què Platon va associar precisament el dodecaedre a la Terra. Potser per les seves cares pentagonals. D’aquí que als políedres regulars se’ls conegui també com sòlids platònics.

Al segle XVI, els políedres regulars van inspirar al jove Kepler una teoria sobre el moviment dels planetes. Ell creia que els radis de les òrbites (circulars) dels planetes estaven en proporció amb els radis de les esferes inscrites en sòlids platònics disposats un dins d’un altre. Recordar que Kepler va concloure que aquest model era erroni i que els planetes es movien descrivint trajectòries el·líptiques quan va conèixer els resultats de les observacions de Tycho Brahe.

Dit això, es planteja una d’aquelles preguntes que només els matemàtics es fan (i éssers de similar pelatge, amb tota la meva simpatia, entre els quals m’incloc). Només existeixen cinc sòlids perfectes? per què? Per resoldre-ho hem de partir del teorema dels poliedres d’Euler: CARES + VERTEXS = ARESTES + 2. A PARTIR d’ara direm C+V=A+2. Per exemple, el cub té 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes, complint l’equació: 6+8=12+2.

Més tard utilitzarem aquest teorema però abans anem a fer algunes argumentacions lògiques. Anem a comptar totes les arestes. Però ho farem d’una forma especial: mirarem una cara i comptarem totes les seves arestes, una altra cara i igual, etc. Per exemple, en el cub que té 6 cares repetirem aquesta operació 6 vegades. Com una aresta separa dues cares, haurem comptat les arestes dues vegades. Del nombre de cares dèiem C i el nombre d’arestes en cada cara pot variar en funció de la figura (per exemple, en el tetraedre u octaedro de cares triangulars hi ha 3 arestes, per tant, seria 3). Designarem aquest número amb la lletra n. Per tant, tenim una bonica equació: nC=2A. La verifiquem per al cub: n=4 (4 arestes per cara), C=6 (6 cares) i A=12 (12 arestes). Es compleix perfectament: 4*6=12*2.

Aquest mateix raonament ho podem fer amb els vèrtexs. A cada vèrtex arriben r arestes (en un cub serien 3). Ara prenem un vèrtex i comptem totes les arestes que arriben a ell; un altre vèrtex i igual, etc. Però al comptar totes les arestes de tots els vèrtexs hem de tenir en compte que haurem comptat les arestes dues vegades una altra vegada, ja que tota aresta toca dos vèrtexs. Conclusió: rV=2A. Per exemple, en el cub r=3 (arriben 3 arestes per vèrtex), V=8 (té 8 vèrtexs) i A=12 (12 arestes). Es veu ràpid que 3*8=2*12.

Doncs bé, reprenent el teorema anterior de Euler C+V=A+2 com hem de d’únic fer és substituir les fórmules anteriors deduïdes i despejar el nombre d’arestes. Obtenim la següent equació:

Recordem que n era el nombre d’arestes que tenia una cara d’un políedre i r el nombre d’arestes que arribaven a un vèrtex. Fixeu-vos que r i n són simètrics en aquesta equació, és a dir, que qualsevol cosa que diguem de r també es pot dir de n. Sabem que n és 3 o més, perquè el polígon més simple és el triangle, amb tres costats. Sabem també que r és 3 o més, perquè en un vèrtex donat d’un políedre es troben almenys 3 cares.

Doncs bé, es pot raonar matemàticament que si tant n com r fossin simultàniament més de 3 l’equació no podria satisfer-se per a qualsevol valor positiu de A. Per tant o bé n=3 i r val 3 o més, o bé r=3 i n val 3 o més.

Substituïm n=3 i obtindrem tots aquells que tinguin triangles com cares.

Veiem que r només pot ser igual a 3, 4 o 5. Ara bé, n=3, r=3 designa un sòlid en el qual convergeixen en cada vèrtex 3 triangles. La resta d’equacions ens diuen que aquest sòlid té 6 arestes, 4 cares i 4 vèrtexs. És evident que es tracta de la piràmide o tetraedre; si ara fem n=3 i r=4 tenim un sòlid amb 8 cares en el qual convergeixen en cada vèrtex 4 triangles: l’octaedre; i si n=3 i r=5 tenim un sòlid amb 20 cares i amb 5 triangles convergint en cada vèrtex: el icosaedre.

Ara fem r=3 i és n la que aïllem.

I utilitzant arguments anàlegs n només pot ser igual a 3, 4 o 5. Si n=3 tenim de nou el tetraedre, si n=4 tenim un sòlid amb 6 cares quadrades: el cub; i si n=5 el sòlid té 12 cares formades per pentàgons: el dodecaedre.

No hi ha més valors enters possibles de n i r per tant només hi ha 5 sòlids regulars. Doncs això que una vegada conegut sembla una obvietat va tenir un fort impacte en diferents moments de la història.

I què té a veure això amb el futbol? Doncs que dels sòlids regulars, el icosaedre és el que més s’aproxima a la forma d’una esfera. En llenguatge planer, una pilota de futbol és un icosaedre truncat. Si tallem els vèrtexs (les puntes) d’un icosaedre obtindrem una figura que s’aproxima encara més a una forma esfèrica. En cada vèrtex s’uneixen cinc triangles, per la qual cosa al tallar-lo tindrem un pentàgon. Com es talla cada angle d’un triangle s’obté un hexàgon. Ens surten 12 pentàgons i 20 hexàgons. Ara posem un material que es deformi una miqueta i som capaços de cobrir el 86.74% d’una esfera d’un diàmetre equivalent, i al inflar-lo la superfície es corba i omple fins al 95%, suficient per ser usat en el joc.

En realitat no és l’única figura geomètrica que pot usar-se amb el mateix fi. Altres sòlids no perfectes s’aproximen més a la forma d’una esfera, per exemple el rombicosidodecaedre, que sense inflar pot omplir fins al 93.32% d’una esfera. Està format per 12 pentàgons, 30 quadrats i 20 triangles; 62 cares en total. Altres figures geomètriques s’aproximen més a una esfera utilitzant cares irregulars, com rombos. Com pilota serien més eficients, però la seva complexitat fa que el seu preu sigui prohibitiu; d’altra banda, la forma de la pilota de futbol és ja gairebé tradició.

En fi, els amants del futbol podeu pensar que la seva pilota deriva directament d’un sòlid perfecte.

Actualització: gràcies a Shora. En química també existeix el Futboleno, del que us poso el link. Ja se sap: "el futboleno és així".

Font:

Quant a omalaled

Me llamo Fernando y soy un apasionado de la ciencia y admirador de los científicos y ténicos de todas las épocas. Espero disfrutéis sabiendo un poquito más de ellos.
Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

2 respostes a La pilota de futbol i els sòlids perfectes

  1. omalaled diu:

    Muchas gracias por tu crítica constructiva. Es un placer recibir consejos tan inteligentes como este.

    Saludos

  2. omalaled diu:

    M’alegro.

    Salut!

Els comentaris estan tancats.