Estadística i temps

Què és el temps? San Agustí, al segle IV deia: "Si ningú m'ho pregunta sé el que és, però si el volgués explicar a qui m'ho preguntés, senzillament, no ho sabria". Han passat 16 segles i encara no hem pogut donar resposta de manera definitiva aquesta pregunta. El físic John Wheeler va suggerir que "el temps és una cosa que impedeix que tot passi a la vegada". Però aquesta resposta no està molt lluny del "el que marquen els rellotges". I de la fletxa del temps us vull parlar a la nostra història d'avui.
 

[@more@]

A finals del segle XIX es pensava que tota la física estava acabada. Les equacions de Maxwell descrivien tots els efectes electromagnètics, inclosa la llum, i les lleis de Newton descrivien tots els processos mecànics. Havia un detall però, que donava més d'un maldecap: cap d'aquestes equacions no marca la fletxa del temps.

Vegem, quan Newton va proposar el segle XVII les seves lleis de la mecànica l'home va poder predir les posicions i velocitats dels planetes del Sistema Solar en tot instant posterior, així com predir eclipsis futurs. Però no només això. Donant la volta a aquestes equacions, podíem també predir velocitats i posicions en el passat, així com saber quan havien succeït eclipsis i tot això partint de les posicions i velocitats actuals dels objectes. D'alguna manera, el passat i el futur estaven continguts en el present. I tampoc determinaven si el temps anava cap a davant o cap enrere. Si de cop canviéssim les velocitats (lineals i de gir) dels planetes i satèl·lits, les lleis de Newton serien igualment aplicables i els seus resultats igualment fiables. És a dir, que si ens invertissin els moviments, com si ens passessin una pel·lícula de cinema cap enrere, no ens assabentaríem. En altres paraules: les lleis de Newton no porten implícita la fletxa del temps.

Però això no és el que veiem a la vida diària. Si us passen realment una pel·lícula cap enrere ràpidament us adonareu. Com ho sabeu? Si tenim un got d'aigua amb un glaçó de gel veurem com el gel es desfà i tot en conjunt arribarà a una temperatura mitja, però si veieu que de l'aigua una part s'escalfa i es forma un glaçó de gel a la seva superfície sabreu que el temps (o la pel·lícula) va cap enrere. Si un cotxe avança i se'n va parant mentre els discos de fre es posen al vermell ja sabeu que tot va en el sentit correcte, però si s'observa que uns discos de fre absorbeixen calor, s'escalfen al vermell i es refreden mentre el cotxe es posa a caminar també sabeu que això no pot ser. Encara que tots aquests processos satisfan lleis com ara la conservació de l'energia o quantitat de moviment i, en suma, les lleis de Newton sabeu quins són els correctes i quins no. Va ser en Johann Josef Loschmidt qui va cridar l'atenció sobre aquesta paradoxa sobre l'any 1876.

Els humans tenim molt arrelat al nostre cap el que va cap a davant o cap enrere. El genial teòric Ludwig Boltzmann ho explicava en un exemple molt simple. Suposem, deia, que tenim un recipient dividit en dos compartiments mitjançant una paret. En un d'ells tenim un gas i en l'altre no tenim res. Ara treiem la paret. Cal recordar que un gas està format per partícules rebotant unes amb altres i amb les parets tot seguint les lleis de Newton.

Gas a l'estat 1 Gas a l'estat 2 Gas a l'estat 3

Sabem que el sistema va en el sentit correcte tal com us ho he posat, però no al revés. Imaginem que ha passat una bona estona ja en l'última posició d'equilibri. Ara parem totes les partícules i fem que vagin a la mateixa velocitat però just en sentit contrari. Tornarien a la posició inicial?. En altres paraules, donat un gas en equilibri tèrmic, podríem descobrir les condicions inicials de les quals va sortir? No és senzill contestar a aquestes preguntes que, d'altra banda, ens introdueixen a la teoria del caos.

Tornem al nostre gas anterior. Si les equacions del moviment d'aquestes partícules són perfectament invertibles en el temps, per què no és reversible? per què no pot un gas distribuït per tota la caixa concentrar-se en una sola meitat? Aquest comportament ens assenyala quina és la fletxa del temps però, d'on surt? Una altra vegada, Boltzmann ens ho explicava. Suposem que tenim el recipient anterior amb només dues partícules nomenades A i B que es mouen seguint les lleis de Newton: reboten una contra una altra i contra les parets de la caixa. Ara prenem una foto del sistema. Com esperem trobar-lo? La resposta més lògica és la que tingui més probabilitats i per això hem d'anar a l'estadística. En total tenim 4 estats possibles.

 

A i B a l'esquerra A esquerra i B dreta B esquerra i A dreta A i B dreta

Ara bé, si A i B són idèntiques, és a dir, indistingibles, llavors dos d'aquestes situacions (una partícula a la dreta i una altra a l'esquerra) són iguals. Tenim per tant un 25% de probabilitats que les dues partícules estiguin a la dreta, un 25% a l'esquerra i un 50% cadascuna en una meitat. El més probable és trobar les partícules equidistribuïdes.

Ara fem el mateix experiment amb 4 partícules (A, B, C i D) mantenint la distinció entre meitat esquerra i meitat dreta. Centrem-nos només a la banda esquerra. Hi ha 4 formes que hi hagi una partícula a la meitat esquerra i la resta en la dreta, però hi ha 6 formes de tenir dues partícules a la part esquerra. Aquesta vegada, en un 60% de les ocasions haurà dues partícules a la part esquerra i un 40% que haurà una sola. Si tenim 8 partícules hi ha una manera que tot el gas estigui concentrat en una de les meitats i 8 que hagi una sola partícula en la meitat esquerra, però hi ha 70 formes de distribuir-les en les dues meitats por igual.

Ja veiem que en augmentar el nombre de partícules puja la probabilitat que estiguin més equidistribuidas i aquí és on radica el secret. Quan parlem de nombre de partícules d'un gas estem parlant de l'ordre del Nombre d'Avogadro partícules i us recordo que era enorme: de l'ordre de 10^23 molècules (us ho poso perquè noteu la magnitud del número: 100.000.000.000.000.000.000.000). Així que el problema es redueix a un càlcul estadístic. Aquest concepte, situació o ordenació de les partícules que us estic descrivint té el conegut nom d'"entropia". Sé que no us l'he definit del tot bé (algun dia podem aprofundir en aquest concepte), però la paraula és aquesta.

Si penseu que ja hem establert la fletxa del temps gràcies a aquests raonaments estadístics penseu igual que en Boltzmann. Deia que, abans d'un xoc, una partícula no sap res de l'altra partícula; però després d'un xoc, hi ha hagut intercanvi d'energia i quantitat de moviment; és a dir, hi ha una correlació després del xoc. Però ai!, amb aquesta argumentació, havia inclòs una fletxa microscòpica del temps en el xoc i va creure haver donat resposta al parlar de la fletxa del temps macroscòpica. És a dir, les molècules tindrien una memòria de la història passada d'un gas.

Però això no és cert del tot. Fem un exemple anàleg des del punt de vista estadístic: un joc de cartes. Suposem que la tenim perfectament ordenada i remenem. Segurament, després d'això, no tindran l'ordre que havíem posat al principi. I ara tornem i tornem a remenar … És possible que alguna vegada es tornés a tenir l'ordre inicial? La resposta és que sí. Quantes vegades hauríem de remenar per tornar a tenir aquest ordre com el principi? Moltes … massa. Però això seria equivalent a preguntar-nos: donat un cert temps, podria el gas confinat en un recipient tenir totes les partícules en una meitat com tenia al principi? Doncs sí, de la mateixa manera que en el joc de cartes, la probabilitat estadística existeix i aquí tampoc intervindria la memòria de la història en la posició de les cartes en l'estudia de la qual parlava el Boltzmann.

I per acabar de complicar-lo, el físic i matemàtic francès Henri Poincaré va reprendre el problema i utilitzant el màxim rigor matemàtic va demostrar que un recipient amb un gas que conté un nombre de partícules molt gran (però sense ser infinit) que compleixen estrictament les lleis de Newton, han de tornar a la seva posició inicial amb la mateixa velocitat que tenien al principi amb una periodicitat característica que ha vingut a conèixer-se com temps cíclic de Poincaré. I si en realitat tot això és cíclic, l'esmentat cicle tampoc té predefinida la fletxa del temps: que els cicles vagin cap a davant o cap enrere és totalment simètric respecte del temps. I aquí no hi ha memòria que valgui. La conclusió és que l'entropia que comentàvem tampoc ens serveix, doncs, per donar una fletxa del temps.

Ara bé, nosaltres intuïm la fletxa del temps gràcies al fet que aquests cicles són molt llargs. Segons els càlculs del Poincaré, si N és el nombre de molècules d'un gas en una caixa, és de l'ordre de 10N. Per exemple, 52 partícules farien que haguéssim d'esperar 1035 vegades l'edat de l'Univers perquè el sistema tornés a estar en una sola meitat. I si recordem que en un centímetre cúbic hi ha de l'ordre de 1019 molècules, ja ni us dic quantes vegades l'edat de l'Univers hem d'esperar.

No val la pena quedar-se mirant molta estona per veure si succeeix, oi?

 
Fonts:
"Así de simple", John Gribbin
"La mente de Dios", Paul Davies

Quant a omalaled

Me llamo Fernando y soy un apasionado de la ciencia y admirador de los científicos y ténicos de todas las épocas. Espero disfrutéis sabiendo un poquito más de ellos.
Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

2 respostes a Estadística i temps

  1. omalaled diu:

    Se m’havia passat i no l’havia penjat en català …

    M’alegro que t’agradi el Eurekas y Euforias. Sé d’un altre semblant encara que amb un altre estil i es “El hombre que calumnió a los monos” del Miguel Angel Sabadell. Historietes curtes però alhora interessants.

    Salut!

  2. Joan diu:

    Llegint el primer capítol del llibre d’en Gribbin (parla de la termodinàmica) m’ha vingut al cap que ja l’havia mig llegit. I aquí el tenim…

    PS: Casualment la lectura del primer capítol ha coincidit amb el temari de química dedicat a la termoquímica XD.

    PPS: És un bon llibre i interessant

Els comentaris estan tancats.