Euclides i els seus “Elements”

Fa ja massa anys, quan estudiava 7é d’EGB, un professor ens va dir que el llibre que més èxit havia tingut en la Història Universal després de la Bíblia i que havia estat traduït a més idiomes, també després de la Bíblia, era el Quixot, del Miguel de Cervantes. Potser m’equivocaré (vosaltres, que sabeu molt més que jo, m’ho direu), però crec que el segon lloc ho ocupa un llibre de matemàtiques que porta per títol Elements i el seu autor no és altre que l’Euclides. I sobre això us parlaré en la nostra història d’avui.
[@more@]
Volia fer un article en el qual us pogués explicar el tema extensament però, sobretot, que fora curt. No he pogut. Així que avui farem una introducció a l’axiomàtica i al propi Euclides i en un proper article podrem parlar del famós cinquè postulat, els mals de cap que va portar i com es va resoldre l’enrenou. Anem per feina.

Després de la mort d’Alejandro Magno alguns dels seus generals es van repartir el poder sobre les terres conegudes. Un d’ells, Ptolomeo, va establir una dinastia que hauria de regnar a Egipte durant tres segles. Va transformar la seva capital, Alexandria, en el centre intel·lectual més gran de l’Antiguitat, i un dels primers talents que va treballar allà va ser el matemàtic Euclides.

Molt poc sabem sobre la vida privada d’aquest home. Va néixer cap a l’any 325 a. C. no sabem on, i es desconeix on i quan va morir. Sembla ser que es va formar amb l’acadèmia dels deixebles de Plató.

El seu nom està indissolublement lligat a la geometria pel citat Elements que s’ha convertit en el patró clàssic encara que amb algunes modificacions. D’aquest llibre han aparegut més de 2.000 edicions(!). Qualsevol autor d’un llibre de matemàtiques o de qualsevol altre tema s’hauria de treure el barret.

Com matemàtic, la seva fama no es deu a les seves pròpies investigacions. Molt pocs dels teoremes que hi ha en el seu llibre són d’ell. El que va fer l’Euclides, i el que ho va consagrar, va ser prendre tot el coneixement matemàtic que s’havia acumulat fins llavors i codificar-lo en una sola obra.

A més de la geometria, el seu text es va ocupar de les raons i les proporcions i del que ara es coneix com la teoria de números. També va fer que l’òptica passés a formar part de la geometria, al tractar als rajos de llum com si fossin línies rectes.

Una anècdota que es diu sobre ell es refereix al rei Ptolomeo qui, mentre estudiava geometria, li va preguntar si no podia fer que les seves demostracions fossin un poc més fàcils de seguir. L’Euclides li va respondre de manera intransigent: "Per a arribar a la geometria no hi ha un camí especial per als reis".

Durant tres segles abans d’Euclides els geòmetras grecs havien demostrat algun que altre teorema geomètric, fins a arribar a descobrir moltíssims. El que va fer Euclides va ser construir amb tot això un sistema. Va començar per certes definicions i suposicions i després les va aplicar per a demostrar uns quants teoremes. Sobre la base d’aquelles definicions i suposicions, més els pocs teoremes que tenia ja demostrats, demostrava altres, i així successivament.

Va ser el primer, que nosaltres sapiguem, que va edificar un sistema matemàtic perfecte, basat en el criteri explícit que és inútil intentar provar-lo tot: que és essencial partir de certes coses que no es poden provar, però que es poden admetre sense proves perquè satisfan la intuïció. Tals suposicions intuïtives, sense proves, es diuen axiomes.

Fer una llista d’axiomes no és tan fàcil com pogués semblar a primera vista. Exigim que aquesta llista sigui completa, és a dir, que siguin suficients per a demostrar tots els teoremes útils del camp particular del coneixement que estiguem explorant. D’altra banda, no han de ser redundants: no hem de poder provar un axioma recolzant-nos en els restants. Més encara, ha de ser impossible de demostrar un axioma partint dels altres. A més, han de ser consistents, és a dir, que no pugui deduir-se d’alguns d’ells que una cosa és certa, i d’uns altres que és falsa.

El sistema axiomàtic té un avantatge. Si demostrem un teorema sense usar l’axioma A, llavors, podem estar segurs que el nostre teorema seguirà sent vàlid encara que es refaci l’axioma A. Això pot semblar una ximpleria, però un dels debats més llargs i profunds de les matemàtiques ha estat, precisament, l’acceptació o rebuig d’un d’aquests axiomes: el cinquè.

Aquesta idea de per si mateix ja era una grandíssima conquesta intel·lectual, però Euclides va anar una mica més enllà: va triar bons axiomes. I mireu si ho va fer bé que durant dos mil anys la geometria d’Euclides ha estat assentada sobre la base del més estricte rigor i ningú no va jutjar necessari afegir altre axioma, ni tampoc no va ser capaç d’eliminar-ne un, o de modificar-lo substancialment. Deu n’hi do l’Euclides.

No agrada a tot el món basar-se en axiomes. En Bertrand Russell declarava:

M’havien dit que Euclides demostrava les coses i em vaig sentir molt decebut quan vaig veure que començava amb axiomes. Al principi, vaig refusar acceptar-los, tret que el meu germà em donés algunes raons per a això, però ell em va dir: "Si no els acceptes, no podem seguir" i, com jo volia continuar, a contracor els vaig admetre.

Totes aquestes idees estan plasmades en el seu llibre: Elements. És una enorme col·lecció dividida en 465 proposicions que tracten des de la geometria plana fins a la teoria de números. Ja hem dit que pocs teoremes eren d’ell, però l’important és que els va recopilar en una sola obra.

I tan important va ser que es va convertir en "texte tipus".

Quan nosaltres diem "Mt 15, 5-9", tots sabem que es tracta de l’Evangeli segons Sant Mateu, capítol 15, versicles del 5 al 9; no cal que diguem a quin llibre pertany perquè, obviament, parlem de la Bíblia. Doncs de la mateixa manera, quan un matemàtic deia "I.47" tots sabien que només podia significar la proposició 47 del llibre I. No calia dir el llibre que es tractava, perquè tots sabien que estaven parlant d’Elements.

Caldria preguntar-se quin dels dos llibres ha estat més estudiat i quin dels dos ha estat més influent en la història. Tal com es pot afirmar molta gent ha llegit la Bíblia i que ha estat extensament estudiada, també podem dir que Elements va ser llegit per moltíssims dels grans científics i altres personatges que han canviat la història com Arquimedes, Ciceró, Newton, Leibniz, Napoleó i fins i tot Abraham Lincoln. Un biògraf d’aquest últim, en Carl Sandburg, explicava:

(…) va comprar els Elements d’Euclides, un llibre de 23 segles d’edat… Ho ficava en la seva cartera quan sortia de campanya. De nit… llegia a Euclides a la llum d’una espelma, després que els altres es retiraven a dormir.

Bertrand Russell explicava:

A l’edat de 11 anys, vaig començar a llegir a Euclides, amb la guia del meu germà. Aquest va ser un dels grans esdeveniments de la meva vida, tan enlluernadora com el primer amor.

Com va dir Thomas L. Heath:

Aquest meravellós llibre, amb totes les seves imperfeccions, que són de fet de poca importància si tenim en compte la data que es va escriure, és i seguirà sent sens dubte, el més gran dels llibres de matemàtiques de tots els temps.

En fi. Tant de bo pogués tornar a parlar amb aquell professor i poder xerrar una estona amb ell, davant una cervesseta ben fresqueta, sobre qual és el llibre que ocupa el segon lloc en la Història Universal.

 
Fonts: 
"Viaje a través de los genios" William Dunham
"De los números y su historia", Isaac Asimov
"El electrón es zurdo", Isaac Asimov
http://www.euclides.org
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/euclides.htm

Quant a omalaled

Me llamo Fernando y soy un apasionado de la ciencia y admirador de los científicos y ténicos de todas las épocas. Espero disfrutéis sabiendo un poquito más de ellos.
Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

2 respostes a Euclides i els seus “Elements”

  1. Joan diu:

    La veritat és que no sé si està entre els de dalt de tot de les llistes de més venuts. Ja que segur que hi ha d’haver alguns llibres xinesos que Déu ni do.

    Del que sí que n’estic segur és que deu ser dels més estudiats durant més temps i que a més a més ha estat intocable durant dos mil·lenis. Per tant en importància està molt amunt.

    Fa poc en vaig llegir alguna cosa sobre com van començar a desmarcar-se d’aquesta geometria(molt per sobre) Gauss, Riemann i alguns altres.
    Era a partir del cinquè postulat del que parles?

    Molt entretingut però em sembla que no faré com en Russell i esperaré encara uns anys més.

  2. omalaled diu:

    Efectivament, és el cinqué postulat el que imposa la geometria Euclidiana i, efectvament, van ser Bolyai, Lobachevsky qui van publicar per primea vegada coses serioses sobre la geometria no euclidiana i Riemann, el que la va exposar genialment. Gauss també la havia deduit, però no es va atrevir a publicr-lo.

    Respecte el més venut o coses així és difícil dir-lo. El que sí, és el llibre que més edicions ha tingut des de la invenció de la imprenta per part del Gutenberg.

    Salut!

Els comentaris estan tancats.