El problema de Monty Hall

Article traduit per Rafel Marco i Molina e-mail Twitter Facebook

Els que ja tenim una edat, i passem dels quaranta, tenim en la memòria el programa Un, dos, tres, responda otra vez. Si no el recordeu o no el coneixeu, no passa res. Recordo que hi havia un joc en el qual al concursant li presentaven tres portes. Darrere d’una d’elles hi havia un cotxe. El concursant n’escollia una (diguem-ne, la 1). Llavors, el presentador li mostrava una altra porta, darrere de la qual no hi havia el cotxe (diguem-ne, la 2). Llavors li deien: vol vostè canviar de porta? És a dir, podia triar la 1, que és la que hi havia escollit en principi, o la 3. Havia el concursant de canviar o no? Hi ha alguna diferència?
[@more@]

Molt més tard, em vaig assabentar que aquest problema és conegut com Problema de Monty Hall i que, en realitat, no era una qüestió del programa espanyol, sinó d’un altre anomenat "Let’s make a deal", que va funcionar des de 1963 fins a 1990. Als creadors d’aquest programa els va haver de deixar perplexos que després d’emetre uns 4.500 programes durant 28 anys, el llegat principal fos aquesta qüestió.

I és que aquesta resposta ha fet vessar rius de tinta. És clar que si no canviem, la probabilitat que n’encertem la porta correcta és 1/3. El fet que ens ensenyin una porta on no hi és, no fa que les dites possibilitats canviïn. La qüestió és que una vegada que ens han ensenyat aquesta porta buida, si canviem, el problema és una altre, ja que escollim amb una informació que no teníem al principi: quina seria la vostra tria entre tres portes, si sabem que el cotxe no hi és a la 2, per exemple?

Va haver-hi molts que van dir que s’havia de canviar perquè a l’inici, la probabilitat d’encert era 1 entre 3; però després, com només restaven dues portes, en cas de canviar-ne, la probabilitat d’encertar-la era 1 entre 2, és a dir, un 50% de possibilitats en lloc del 33%. Per això, el canvi era recomanable.

Almenys, semblava així fins que va entrar en escena una dona anomenada Marilyn vos Savant. No la coneixeu? És la dona que té el Coeficient Intel·lectual (CI) més alt del món, amb una puntuació de 228. Consta, fins i tot, al llibre Guinness dels Rècords des de l’any 1986. També és famosa per ser casada amb Robert Jarvik, inventor del cor artificial Jarvik. Però la fama pel gran públic va arribar d’una altra manera.

Tenia una columna a la revista Parade anomenada "Ask Marilyn" i li van plantejar aquesta qüestió. L’amiga Marilyn va contestar que, efectivament, s’hi havia de canviar, però la nostra probabilitat d’encert no seria del 50%, sinó del 66%, és a dir, de 2/3.

Bé, els lectors de la seva columna gairebé embogeixen. Va rebre unes 10.000 cartes en les quals la corregien o se sentien decebuts per fallar en una pregunta tan senzilla. Entre les cartes hi havia uns 1.000 matemàtics (molts d’ells doctors). Era tan evident: hi havia dues portes, oi? Doncs una possibilitat entre dos era un 50%. Què podia haver més senzill? Un d’ells, un matemàtic, va escriure un contundent l’has cagat:

Deixa que m’expliqui: si s’ensenya una porta perdedora, aquesta informació canvia la probabilitat de qualsevol elecció mantinguda, cap de les quals mostra una raó per a ser més probable que 1/2. Com a matemàtic professional, estic molt amoïnat per la falta d’habilitat matemàtica del públic general. Si us plau, confessa el teu error per ser d’ajuda i, en el futur, sigues més prudent.

Però Marilyn va tornar amb el tretze són tretze. Matemàtics d’altres universitats també li van escriure:

Estic commogut després d’haver estat corregit per, almenys, tres matemàtics, tu encara no veus el teu error.

Quants matemàtics furiosos es necessiten per a canviar la teva opinió?

Si tots aquests doctors estiguessin equivocats, el país es trobaria en dificultats.

Fins i tot el grandíssim Paul Erdös va dir: "Això és impossible".

Només quan es van fer simulacions per ordinador es va veure el resultat. Erdös va acceptar que estava equivocat. Però un moment, com era possible que tot el món, llevat de Marilyn, digués el 50% i les simulacions donessin un 66%? És que tenia raó Marilyn? Estava aleshores el país en dificultats com advertia aquell matemàtic?

En realitat, el problema ja havia estat resolt per Martin Gardner el 1959. Vaig a intentar explicar-vos per què Marilyn tenia raó i aquell munt de gent s’equivocava. Normalment, quan algú intenta explicar-ho, ho fa calculant la probabilitat d’encert. Jo vaig a fer el contrari: imaginaré que sé on és el cotxe i veuré en quina de les caselles l’encerto. Amb aquest punt de vista, l’explicació és gairebé evident.

Anem a imaginar que el cotxe és a la porta 1, i considerem les tres possibilitats: que escollim la porta 1, la 2 o la 3, i que sempre canviarem la porta després que ens ensenyin on no hi és.

Portes i cotxe a la porta 1

1.- Escollim la porta 1.
Porta 1 seleccionada

En aquest cas, el presentador ens ensenya la porta 2 o la 3 (portes sobre les quals hi ha una rodona verda), qualsevol d’elles, ja que el cotxe no és allà. Nosaltres canviem i perdem. Resumint: si seleccionem la 1 i canviem, perdem.

2.- Escollim la porta 2.

 
Porta 2 seleccionada

En aquest cas, el presentador no pot ensenyar-nos la porta 1, ja que darrere hi ha el cotxe; i no pot mostrar-nos la porta 2, ja que l’hem escollida. Per tant, ha d’ensenyar-nos la porta 3 (marcada amb una rodona verda), atès que allà no hi ha el cotxe.

Nosaltres canviem a la que queda, és a dir, la 1 i guanyem. Resumint: si seleccionem la 2 i canviem, guanyem.

3.- Escollim la porta 3.

 
Porta 3 seleccionada

Ara, el presentador segueix sense poder ensenyar-nos la porta 1, i la 3 tampoc, atès que és la que hem seleccionat. Només pot ensenyar-nos la 2 (sobre la qual hi ha la rodona verda), atès que el cotxe ja no és allà. Nosaltres canviem a la 1 i guanyem. Resumint: si seleccionem la 3 i canviem, guanyem.

Us heu adonat? Vegem. Si partim de la premissa que fem el canvi de porta:

Si al principi seleccionem la 1 i canviem, perdem.
Si al principi seleccionem la 2 i canviem, guanyem.
Si al principi seleccionem la 3 i canviem, guanyem.

Aquest raonament el podria repetir tant si hi ha el cotxe a la porta 2 o la 3, ja que és indiferent la posició on hi ha el cotxe. Sí, canviaria el número de les portes, però la conclusió seria la mateixa: en dos portes guanyaríem el joc i en una perdríem.

Per tant, no hi ha, potser, una probabilitat de 2 entre 3 de guanyar? Sembla que, després de tot, la senyora Marilyn tenia raó, no?

Existeixen simulacions mitjançant les qual es fa una estadística d’encerts en aquesta pàgina. I per si no he estat prou clar, teniu una altra explicació (amb una mica més de faramalla tècnica) en aquesta altra pàgina.

I és que, en ciència, no compta el nombre de persones que estiguen a favor o en contra d’una argumentació. I tampoc guanyen els qui criden més o els qui són més eloqüents. Ja ho va dir el nostre Sant Pare Galileu Galilei:

Si raonar fos igual que carregar, estaria d’acord en què unes quantes persones raonant valdrien més que una, a l’igual d’uns quants cavalls poden tirar de més sacs de gra que un de sol. Però raonar és com córrer, no com carregar, i un únic pura sang pot córrer més que cent perxerons.


Font:
MLODINOW,
Leonard
. (2008). El
andar del borracho: cómo el azar gobierna nuestras vidas.
Barcelona:
Crítica.

Quant a omalaled

Me llamo Fernando y soy un apasionado de la ciencia y admirador de los científicos y ténicos de todas las épocas. Espero disfrutéis sabiendo un poquito más de ellos.
Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.